?

Log in

No account? Create an account

Amor vincit omnia

errare homini est

Много увидишь ты сквозь окружности...
revoltp
Захотелось коротко изложить "ступени" возникающие в эстетической геометрии. Три, как я сейчас думаю базовых представления, без которых ее понимание невозможно (я говорю о геометрическом понимании) а не о художественном.
Итак что же нужно знать, минимум минимумов:

1. Окружность не только самая симметричная фигура, окружность сама задает симметрию (инверсию) на плоскости, при которой точки окружности неподвижны, а внутренность и внешность меняются местами. Необязательно знать точные формулы, но надо представлять как меняются при этом фигуры - круглое остается круглым или становится прямым, прямое искривляется, близкое к центру окружности убегает куда-то далеко. Также надо знать, что симметрия относительно окружности может быть определена без использования расстояний и прямых, а только с помощью самих окружностей.
2. Эту симметрию, определяемую окружностью, надо уметь представлять на сфере, надо понимать, что на сфере есть симметрии или преобразования, определяемые произвольной точкой в пространстве, именно: возьмем произвольную точку А в пространстве и точку В на сфере. Проведем прямую через А и В, эта прямая будет иметь со сферой еще одну общую точку, обозначим ее С. Назовем точку С образом В при А-отображении. Оказывается: если А лежит вне сферы, то у такого отображения есть неподвижные точки, это точки в которых конус, (колпак) с вершиной в А касается нашей сферы. Все неподвижные точки лежат на одной окружности сферы. И А-отображение будет инверсией сферы относительно этой окружности. Если же А лежит внутри сферы, то неподвижных точек у А-отображения нет.
3.Трехокружником мы называем три взаимопересекающихся окружности. Три взаимопересекающиеся окружности задают симметрию окружностей, при которой пары точек пересечения меняются местами, то есть одна точка пересечения двух окружностей отображается в другую точку пересечения этих же окружностей. При этом свойства трехокружника и определенной им симметрии во многом определяются тем, разделяет ли одна из окружностей точки пересечения двух других или нет.

Вот, пожалуй три базовых явления, которые надо хорошо представлять. Разумеется, все они связаны между собой, с ними связано много интересного (например с помощью трехокружника или А-отображения легко определить неевклидовы геометрии и геометрию проективного пространства), о них можно задать бесчисленное количество вопросов и на некоторые из них ответы очень и очень интересны.